Генератор гиперхаотических колебаний - RU2680346C1

Чертежи

Показать все 29 чертежа(ей)

Описание

Предлагаемое изобретение относится к радиотехнике и может быть использовано в качестве источника гиперхаотических электромагнитных колебаний.

Известен генератор гиперхаотических колебаний (P. Arena, S. Baglio, L. Fortuna and G. Manganaro. Hyper-chaos from cellular neural networks // Electronics Letters, 1995, Vol. 31, No. 4, P. 250, Fig. l), содержащий линейное и нелинейное устройства с отрицательным сопротивлением, первые выводы которых соединены между собой и с первыми выводами первого и второго конденсаторов, второй вывод линейного отрицательного сопротивления соединен со вторым выводом первого конденсатора и первым выводом первой индуктивности, второй вывод которой соединен со вторым выводом второго конденсатора и с первым выводом второй индуктивности, второй вывод которой соединен с вторым выводом нелинейного устройства с отрицательным сопротивлением.

Также известен генератор гиперхаотических колебаний (Т. Matsumoto, L.O. Chua, and K. Kobayashi. Hyper-chaos: Laboratory Experiment and Numerical Confirmation // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1986, Vol. CAS-33, No. 11, P. 1144), содержащий линейное и нелинейное устройства с отрицательным сопротивлением, первые выводы которых соединены с первым выводом первого конденсатора, второй вывод которого соединен с первым выводом первой индуктивности, второй вывод которой соединен с вторым выводом нелинейного устройства с отрицательным сопротивлением и первым выводом второго конденсатора, второй вывод которого соединен с первым выводом второй индуктивности.

Известен генератор гиперхаотических колебаний (Dong En-Zeng, Chen Zeng-Qiang, Chen Zai-Ping, Ni Jian-Yun. Pitchfork bifurcation and circuit implementation of a novel Chen hyper-chaotic system // Chin. Phys. B, 2012, Vol. 21, P. 030501-8, Fig. 8), содержащий первый разностный усилитель напряжения, выход которого соединен с входом первого аналогового интегратора, выход которого соединен с неинвертирующим входом первого разностного усилителя напряжения, вторым входом первого аналогового перемножителя, первым входом второго аналогового перемножителя и первым неинвертирующим входом второго разностного усилителя напряжения, выход которого соединен с инвертирующим входом третьего разностного усилителя напряжения, выход которого соединен с входом второго аналогового интегратора, выход которого соединен с инвертирующим входом первого разностного усилителя напряжения и вторым неинвертирующим входом второго разностного усилителя напряжения, выход второго аналогового перемножителя напряжения соединен с инвертирующим входом четвертого разностного усилителя напряжения, выход которого соединен с входом третьего аналогового интегратора, выход которого соединен с неинвертирующим входом четвертого разностного усилителя напряжения и первым входом первого аналогового перемножителя, выход первого аналогового перемножителя соединен с инвертирующим входом второго разностного усилителя напряжения и неинвертирующим входом пятого разностного усилителя напряжения, выход которого соединен с входом четвертого аналогового интегратора, выход которого соединен с инвертирующим входом пятого разностного усилителя напряжения и неинвертирующим входом третьего разностного усилителя напряжения.

Недостатком этих генераторов является ограниченная возможность изменения хаотического аттрактора, что ограничивает возможности перестройки параметров генерируемых гиперхаотических колебаний.

Наиболее близким по технической сущности к заявляемому устройству является генератор гиперхаотических колебаний (В.Г. Прокопенко. Генератор гиперхаотических колебаний. Пат. РФ №2472210, опубл. 10.01.2013, Бюл. №1), содержащий первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первым выводом первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым входным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выводом второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, и резистор.

Недостатком этого генератора гиперхаотических колебаний, является, незначительная возможность видоизменения хаотического аттрактора, что ограничивает возможность перестройки параметров генерируемых хаотических колебаний.

Целью изобретения является расширение пределов регулирования параметров хаотического сигнала путем расширения возможностей видоизменения конфигурации соответствующего ему хаотического аттрактора.

Цель изобретения достигается тем, что в генератор гиперхаотических колебаний, содержащий первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первым выводом первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым входным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выводом второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, и резистор, введено устройство с отрицательным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с первым выводом резистора, второй вывод которого соединен первым выводом первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выводом второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с вторым выводом устройства с отрицательным сопротивлением, второй вывод второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением соединен с вторым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, передаточная характеристика которого определена уравнением

где i(i₁) - ток, протекающий через выходные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, i₁ - ток, протекающий через входные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, I₀ - абсолютная величина граничных токов ток между средним, проходящим через начало координат, и первым и вторым боковыми участками передаточной характеристики, IS₀ - абсолютное значение граничных токов между первым и третьим и между вторым и четвертым боковыми участками передаточной характеристики, а и b - вещественные константы, напряжение на первом входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на первом выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, напряжение на втором входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на втором выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит первый линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит второй линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами третьего нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит первый линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, второй двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит второй линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами пятого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, переменный ток, протекающий в цепи первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, равен переменному току, протекающему в цепи первого линейного емкостного элемента, напряжение между выводами первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением равно u₁(u_C1)=U₀H₁(x), где u_C1 - переменное напряжение на первом линейном емкостном элементе, U₀=I₀R, R - сопротивление резистора,

С целью получения повышенной точности и температурной стабильности первый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с первым входным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, выходом первого генератора тока и эмиттером первого транзистора, коллектор которого соединен с базой и коллектором второго транзистора и эмиттером третьего транзистора, база и коллектор которого соединены с выходом второго генератора тока, первым выводом первого резистора и эмиттером четвертого транзистора, коллектор которого соединен с базой пятого транзистора и эмиттером шестого транзистора, база и коллектор которого соединены с выходом третьего генератора тока и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с выходом четвертого генератора тока и базой и коллектором седьмого транзистора, эмиттер которого соединен с базой четвертого транзистора и коллектором пятого транзистора, эмиттер которого соединен с вторым выводом первого резистора, выходом пятого генератора тока и базой и коллектором восьмого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором девятого транзистора и базой и коллектором десятого транзистора, эмиттер которого соединен с базой первого транзистора, эмиттер второго транзистора соединен с базой девятого транзистора, эмиттер которого соединен с выходами шестого и седьмого генераторов тока, выходом усилителя напряжения и эмиттером одиннадцатого транзистора, коллектор которого соединен с базой двенадцатого транзистора и эмиттером тринадцатого транзистора, база и коллектор которого соединены с выходом восьмого генератора тока и базой и коллектором четырнадцатого транзистора, эмиттер которого соединен с базой одиннадцатого транзистора и коллектором двенадцатого транзистора, эмиттер которого соединен с выходом девятого генератора тока и первым выводом третьего резистора, второй вывод которого соединен с неинвертирующим входом усилителя напряжения и первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной и второй выходной выводы которого соединены с общей шиной, общие шины первого, шестого, седьмого и девятого генераторов тока соединены с первой шиной питания, общие шины второго, третьего, четвертого, пятого и восьмого генераторов тока соединены с второй шиной питания, второй нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с инвертирующим входом усилителя напряжения и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с вторым выходом усилителя напряжения и вторым выходным выводом второго нелинейного преобразователя импеданса, построение третьего нелинейного преобразователя импеданса идентично построению второго нелинейного преобразователя импеданса, четвертый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с вторым входным выводом четвертого нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с вторым выходным выводом четвертого нелинейного преобразователя импеданса и неинвертирующим входом усилителя напряжения, второй выход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, построение пятого нелинейного преобразователя импеданса идентично построению четвертого нелинейного преобразователя импеданса,

каждый нелинейный двухполюсник содержит 1+2Max(Q,R) последовательно включенных активных четырехполюсников, где Max(Q,R) - большее из чисел Q и R, которые равны соответственно M_j и N_j в нелинейном двухполюснике, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, j=2, 3, 4, 5, первый и второй выводы первого активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами нелинейного двухполюсника и выходами соответствующих первого и второго генераторов тока, общие шины которых соединены с первой шиной питания, третий и четвертый выводы каждого предыдущего активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами последующего активного четырехполюсника, третий и четвертый выводы последнего, 1+2Max(Q,R)-го, активного четырехполюсника соединены с соответствующими первым и вторым выводами резистора, устройство с отрицательным сопротивлением содержит первый транзистор, эмиттер которого соединен с первым выводом устройства с отрицательным сопротивлением и выходом первого генератора тока, общая шина которого соединена с первой шиной питания и общей шиной второго генератора тока, выход которого соединен с вторым выводом устройства с отрицательным сопротивлением и эмиттером второго транзистора, база которого соединена с коллектором первого транзистора и эмиттером третьего транзистора, база и коллектор которого соединены с первым выводом резистора и выходом третьего генератора тока, общая шина которого соединена с второй шиной питания и общей шиной четвертого генератора тока, выход которого соединен с вторым выводом резистора и базой и коллектором четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с базой первого транзистора и коллектором второго транзистора, каждый активный четырехполюсник содержит резистор, первый вывод которого соединен с первым выводом активного четырехполюсника и эмиттером первого транзистора, коллектор которого соединен с базой второго транзистора и эмиттером третьего транзистора, база и коллектор которого соединены с третьим выводом активного четырехполюсника и выходом первого генератора тока, общая шина которого соединена с второй шиной питания и общей шиной второго генератора тока, выход которого соединен с четвертым выводом активного четырехполюсника и базой и коллектором четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с базой первого транзистора и коллектором второго транзистора, эмиттер которого соединен с вторым выводом резистора и вторым выводом активного четытехполюсника, каждый из усилителей напряжения, входящих в состав второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, содержит первый и второй транзисторы, базы которых являются соответствующими неинвертирующим и инвертирующим входами усилителя напряжения, эмиттер первого транзистора соединен с выходом первого генератора тока и эмиттером второго транзистора, коллектор которого соединен с базой третьего транзистора и эмиттером четвертого транзистора, база и коллектор которого соединены с выходом второго генератора тока и базой пятого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором первого транзистора, эмиттер третьего транзистора соединен с коллектором шестого транзистора и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен с базой шестого транзистора и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с эмиттером шестого транзистора, выходом третьего генератора тока и первым выходом усилителя напряжения, коллектор третьего транзистора соединен с выходом четвертого генератора тока и эмиттером седьмого транзистора, коллектор которого соединен с выходом пятого генератора тока и вторым выходом усилителя напряжения, база седьмого транзистора соединена с третьей шиной питания, общие шины первого, третьего и пятого генераторов тока соединены с первой шиной питания, общие шины второго и четвертого генераторов тока соединены с коллектором пятого транзистора и с второй шиной питания.

Заявляемый генератор хаотических колебаний поясняется фиг. 1, на которой изображена его схема электрическая принципиальная, фиг. 2, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме генератора при его работе, фиг. 3, на которой приведена схема электрическая принципиальная первого нелинейного преобразователя импеданса, фиг. 4, на которой приведена схема электрическая принципиальная второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 5, на которой приведена схема электрическая принципиальная четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 6, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейного двухполюсника, фиг. 7, на которой приведена схема электрическая принципиальная устройства с отрицательным сопротивлением, фиг. 8, на которой приведена схема электрическая принципиальная активного четырехполюсника, фиг. 9, на которой приведена схема электрическая принципиальная усилителей напряжения, входящих в состав второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 10, на которой изображена безразмерная передаточная характеристика первого нелинейного преобразователя импеданса, фиг. 11, на которой приведена безразмерная передаточная характеристика второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 12, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора на плоскость (x,z) при M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=М₄=N₄=0, А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, фиг. 13, иллюстрирующей механизм образования простейшего составного мультиаттрактора при M₁=1, N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=М₄=N₄=0, А=2, b=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, фиг. 14, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при M₁=N₁=2, М₂=N₂=M₃=N₃=М₄=N₄=0, А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, фиг. 15, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при M₂=N₂=2, М₁=N₁=M₃=N₃=М₄=N₄=0, А-2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, фиг. 16, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при M₃=N₃=2, M₁=N₁=M₂=N₂=М₄=N₄=0, А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, фиг. 17, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при M₄=N₄=2, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=0, А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, фиг. 18, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₄=0, на плоскость (x,y), фиг. 19, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора при А=2, В=2, С=2, D=-0.7,E=1.9,a=l, b=-6, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₄=0, на плоскость (x,z), фиг. 20, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₄=0, на плоскость (x,w), фиг. 21, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₄=0, на плоскость (y,z), фиг. 22, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₄=0, на плоскость (y,w), фиг. 23, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=S₃=s₄=0, на плоскость (z,w), фиг. 24, 25, 26, 27 на которых приведены примеры временных зависимостей безразмерных переменных x, у, z и w, фиг. 28, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса при их работе, фиг. 29, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса при их работе.

Генератор хаотических колебаний содержит резистор 1, первый 2 и второй 3 двухполюсные элементы с емкостным сопротивлением, первый 4 и второй 5 двухполюсные элементы с индуктивным сопротивлением, устройство с отрицательным сопротивлением 6, первый нелинейный преобразователь импеданса 7, первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит первый линейный емкостной элемент 8 и второй нелинейный преобразователь импеданса 9, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит второй линейный емкостной элемент 10 и третий нелинейный преобразователь импеданса 11, первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит первый линейный индуктивный элемент 12 и четвертый нелинейный преобразователь импеданса 13, второй двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит второй линейный индуктивный элемент 14 и пятый нелинейный преобразователь импеданса 15, первый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения 16, первый 17, второй 18 и третий 19 резисторы, первый 20, второй 21, третий 22, четвертый 23, пятый 24, шестой 25, седьмой 26, восьмой 27, девятый 28, десятый 2 9, одиннадцатый 30, двенадцатый 31, тринадцатый 32 и четырнадцатый 33 транзисторы, первый 34, второй 35, третий 36, четвертый 37, пятый 38, шестой 39, седьмой 40, восьмой 41 и девятый 42 генераторы тока, второй и третий нелинейные преобразователи импеданса содержат усилитель напряжения 43, резистор 44 и нелинейный двухполюсник 45, четвертый и пятый нелинейные преобразователи импеданса содержат усилитель напряжения 46, резистор 47 и нелинейный двухполюсник 48, каждый нелинейный двухполюсник содержит резистор 49, активные четырехполюсники 50, первый 51 и второй 52 генераторы тока, устройство с отрицательным сопротивлением содержит резистор 53, первый 54, второй 55, третий 5 6 и четвертый 57 транзисторы, первый 58, второй 59, третий 60 и четвертый 61 генераторы тока, каждый активный четырехполюсник содержит резистор 62, первый 63, второй 64, третий 65 и четвертый 66 транзисторы, первый 67 и второй 68 генераторы тока, каждый усилитель напряжения, входящий в состав второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, содержит первый 69, второй 70, третий 71, четвертый 72, пятый 73, шестой 74 и седьмой 75 транзисторы, первый 76 и второй 77 резисторы, первый 78, второй 79, третий 80 четвертый 81 и пятый 82 генераторы тока.

Запишем уравнения, описывающие работу данного генератора (см. фиг. 2):

где R - сопротивление резистора 1; R_Э - абсолютное значение эквивалентого отрицательного сопротивления устройства с отрицательным сопротивлением 6; u_С1 и u_C2 - переменные напряжения на первом 8 и втором 10 линейных емкостных элементах, соответственно; i_Cl и i_C2 - переменные токи, протекающие в цепях первого 8 и второго 10 линейных емкостных элементах, соответственно; u_L1 и u_L2 - переменные напряжения на первом 8 и втором 10 линейных индуктивных элементах, соответственно; i_L1 и i_L2 - переменные токи, протекающие в цепях первого 8 и второго 10 линейных индуктивных элементов, соответственно.

Учитывая, что

Вводя безразмерные переменные

где

Изображение функции H_j(ξ_j), где j=l, 2, 3, 4, (ξ₁=x, (ξ₂=y, ξ₃⁼z, (ξ₄=w, приведено на фиг. 11. Она представляет собой кусочно-линейную многосегментную функцию, содержащую M_j+N_j+1 сегментов с единичным наклоном и M_j+N_j сегментов с наклоном -d_j. Протяженность по аргументу (х, у, z или w) сегментов с единичным наклоном равна 2h_j, протяженность по аргументу сегментов с наклоном -d_j равна 2h/d_j. Коэффициент S_j задает величину смещения функции H_j(w_j) относительно начала координат вдоль проходящего через начало координат сегмента с единичным наклоном.

Такая нелинейность вольт-амперных характеристик реактивных элементов схемы генератора необходима для того, чтобы обеспечить условия формирования составного мультиаттрактора.

В случае линейных первого 2 и второго 3 двухполюсных элементов с емкостным сопротивлением, а также первого 4 и второго 5 двухполюсных элементов с индуктивным сопротивлением (при M₁=N₁=M₂=N₂=М₃=N₃=M₄=N₄=0, когда H₁(x)=x, Н₂(у)=у, H₃(z)=z, H₄(w)=w) заявленный генератор гиперхаотических колебаний генерирует хаотические колебания, соответствующие уравнениям:

В системе (4) наблюдаются гиперхаотические колебания, характеризующиеся наличием двух положительных показателей Ляпунова. Например, при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, характеристические показатели Ляпунова имеют следующие значения λ1≈0.28, λ2≈0.10, λ3=0, λ4≈-0.95. При А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=4, а=1, b=-6, эти показатели равны λ1≈0.31, λ2≈0.17, λ3=0, λ4≈-1.1. При А=3, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=0.3, b=-6, они равны λ1≈0.31, λ2≈0.25, λ3=0, λ4≈-1.17.

Положим теперь М₁=1, оставив N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=0. При этом функция H₁(x) примет вид, показанный на фиг. 13. В этом случае характер колебаний в генераторе будет зависеть от значений коэффициентов h₁ и S₁, задающих положение границ между сегментами нелинейной функции Н₁(х).

Пока границы не пересекаются с аттрактором, колебания в генераторе ничем не отличаться от случая линейной функции H₁(x)=x, так как движение по координате jc происходит на сегменте функции Н₁(х) с единичным наклоном, проходящем через начало координат. Однако при уменьшении h₁ до 2.8, когда максимальные размеры аттрактора по координате х превысят соответствующие размеры этого сегмента, фазовые траектории будут иногда пересекать границу между сегментами и переходить на сегмент с наклоном -d₁ и далее на соседний сегмент с единичным наклоном.

При нахождении рабочей точки в пределах второго линейного сегмента с единничным наклоном, колебания в генераторе происходят в соответствии с уравнениями:

так как второй линейный сегмент с единичным наклоном смещен по оси х относительно первого сегмента с единичным наклоном на интервал

Если произвести замену переменных x1=x-x0, и учесть, что

которая ничем не отличается от уравнений (4). Поэтому при движении на соседнем (втором) сегменте с единичным наклоном воспроизводится исходный хаотический аттрактор, смещенный относительно исходного аттрактора на интервал

Когда траектория вновь пересечет границу между сегментами, движение возвратится на исходный хаотический аттрактор и т.д. В результате образуется составной хаотический аттрактор, объединяющий два одинаковых аттрактора (фиг. 13). Аналогично образуется составной мультиаттрактор при большем числе сегментов в составе функции H₁(x) (фиг. 14).

Таким же образом происходит образование составного мультиаттрактора, состоящего из копий исходного аттрактора, упорядоченных вдоль осей у, z, w, - для этого служат нелинейности третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса (фиг. 15, фиг. 16, фиг. 17).

Если одновременно нелинейными являются две, три или четыре функции H_j(w_j), описанным образом реализуются «двумерные», «трехмерные» и «четырехмерный» составные мультиаттрактры. На фиг. 18, фиг. 19, фиг. 20, фиг. 21, фиг. 22, фиг. 23 показаны примеры проэкций таких мульти-аттракторов на плоскости (х,у), (x,z), (x,w), (y,z), (y,w), (z,w).

Значения характеристических показателей Ляпунова при различных значениях коэффициентов уравнений (3), соответствующих рассмотренным выше ситуациям имеют следующие значения. Например, при А=2, В=2, С=2, D=-0.7, Е=1.9, а=1, b=-6, d₁=d₂=d₃=d₄=0, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₄=0:

- в случае M₁=N₁=M₂=N₂=М₃=N₃=M₄=N₄=0 характеристические показатели Ляпунова равны λ1≈0.28, λ2≈0.10, λ3=0, λ4≈-0.95;

в случае M₁=N₁=l, M₂=N₂=М₃=N₃=M₄=N₄=0, d₁=10, h₁≈2.8, s₁=0 характеристические показатели Ляпунова равны λ1≈0.27, λ2≈0.11, λ3=0, λ4≈-0.95;

в случае M₂=N₂=1, M₁=N₁=М₃=N₃=M₄=N₄=0, d₂=10, h₂≈2.2, s₁=0 характеристические показатели Ляпунова равны λ1≈0.31, λ2≈0.09, λ3=0, λ4≈-0.98;

в случае M₃=N₃=1, M₁=N₁=M₂=N₂=M₄=N₄=0, d₃=10, h₃≈2.4, s₃=0 характеристические показатели Ляпунова равны λ1≈0.30, λ2≈0.13, λ3=0, λ4≈-0.99;

в случае M₄=N₄=1, M₁=N₁=M₂=N₂=М₃=N₃=0, d₄=10, h₄≈3.4, s₄=0 характеристические показатели Ляпунова равны λ1≈0.29, λ2≈0.10, λ3=0, λ4≈-0.92;

в случае M₁=N₁=М₂=N₂=М₃=N₃=M₄=N₄≥1, d₁=d₂=d3=d₄=10, h₁≈2.8, h₂≈2.2, h₃≈2.4, h₄≈3.4, s₁=s₂=s₃=s₁₄=0, значения характеристических показателей Ляпунова составляют λ1≈0.27…0.32, λ2≈0.09…0.13, λ3=0, λ4≈-0.9…-1.1.

Таким образом, при данных значениях коэффициентов а, b, А, В, С, D, Е, M_j, N_j, d_j, h_j, s_j, j=l, 2, 3, 4 в заявленном генераторе наблюдаются гиперхаотические колебания, характеризующиеся наличием двух положительных показателей Ляпунова, происходящие на композиционном хаотическом мультиаттракторе, состоящем из нескольких копий хаотического аттрактора динамической системы (4).

Абсолютное значение эквивалентного отрицательного сопротивления устройства с отрицательным сопротивлением равно R_Э=R1, где R1 - сопротивление резистора 53, входящего в состав устройства с отрицательным сопротивлением 6. Выходные токи первого 58 второго 59, третьего 60 и четвертого 61 генераторов тока, входящих в состав устройства с отрицательным сопротивлением 6, имеют одинаковое значение I_уос, которое должно быть в (1.5…3) раза большим максимального значения тока I_C2, протекающего в цепи второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением 3.

Параметры передаточной характеристики первого нелинейного преобразователя импеданса 7 равны

Ток I₁ равен значению выходных токов третьего 36 и четвертого 37 генераторов тока, входящих в состав первого нелинейного преобразователя импеданса. Значение выходных токов I₃ первого 34 и шестого 39 генераторов тока, входящих в состав первого нелинейного преобразователя импеданса, равно сумме значения I₁ выходных токов третьего 36 и четвертого 37 генераторов тока, входящих в состав первого нелинейного преобразователя импеданса, и значения I₂ выходных токов второго 35 и пятого 38 генераторов тока, входящих в состав первого нелинейного преобразователя импеданса, I₃=I₁+I₂. Причем значение тока I₂ должно быть в несколько раз больше тока I₁ (I₂=(2…5)I₁). Значение выходных токов седьмого 40 и девятого 42 генераторов тока, входящих в состав первого нелинейного преобразователя импеданса, равно I₄=I₀[(1-E)b-а]. Значение выходного тока восьмого 41 генератора тока, входящего в состав первого нелинейного преобразователя импеданса, равно 2I₄.

Параметры передаточной характеристики второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса равны

При M_j=N_j токи I_1j и J_1j равны значениям выходных токов соответственно вторых 68 и первых 67 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 50, и значениям выходных токов соответственно первых 67 и вторых 68 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 50, содержащихся в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса. При этом значение выходных токов I_2j генераторов тока 51 и 52, содержащихся в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса, определяются выражением I_2j=K_j[I_1j+J_1j)+I_3j где K_j=Max[M_j,N_j), I_3j - значение выходных токов первого 67 и второго 68 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса, причем ток I_3j в несколько раз больше тока Max(I_1j,J_1j), где Max(I_1j,J_1j) - наибольший из токов I_1j и J_1j, то есть I_3j=(2…5)Max(I_1j,J_1j).

Случай M_jj отличается от случая M_j=N_j тем, что выходной ток второго 68 генератора тока, входящего в состав 1+2(N_j-M_j)-гo активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I_3j, а выходной ток второго 68 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I_1j.

Случай N_jj отличается от случая M_j=N_j тем, что выходной ток первого 67 генератора тока, входящего в состав 1+2(М_j-N_j)-гo активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса, равен току I_3j, а выходной ток первого 67 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 45, входящем в состав второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току J_1j.

Параметры передаточной характеристики четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса равны

При M_j=N_j токи I_1j и J_1j равны значениям выходных токов соответственно первых 67 и вторых 68 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 50, и значениям выходных токов соответственно вторых 68 и первых 67 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 50, содержащихся в нелинейном двухполюснике 48, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса. При этом значение выходных токов I_2j генераторов тока 51 и 52, содержащихся в нелинейном двухполюснике 48, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса, определяются выражением I_2j=K_j(I_1j+J_1j)+I_3j, где K_j=Мах[М_j,N_j), I_3j - значение выходных токов первого 67 и второго 4 6 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 48, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса, причем ток I_3j в несколько раз больше тока Max(I_1j,J_1j), где Max(I_1j,J_1j) - наибольший из токов I_1j и J_1j, то есть I_3j=(2…5)Max(I_1j,J_1j).

Случай M_jj отличается от случая M_j=N_j тем, что выходной ток второго 68 генератора тока, входящего в состав 1+2(N_j-М_j)-гo активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 49, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I_3j, а выходной ток второго 68 генератора тока, входящего в состав первогого активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 48, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току J_1j.

Случай N_jj отличается от случая M_j=N_j тем, что выходной ток первого 67 генератора тока, входящего в состав 1+2(М_j-N_j)-гo активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 48, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса, равен току I_3j, а выходной ток первого 67 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 50, содержащегося в нелинейном двухполюснике 50, входящем в состав четвертого или пятого нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I_1j.

Выходные токи генераторов тока, содержащихся в усилителях напряжения, входящих в состав второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, должны удовлетворять следующим соотношениям I_yl=2I_y2, I_y3+I_y5=I_y4, где I_y1 - выходной ток первого 7 8 генератора тока, I_у2 - выходной ток второго 7 9 генератора тока, I_у3 - выходной ток третьего 80 генератора тока, I_у4 - выходной ток четвертого 81 генератора тока, I_у5 - выходной ток пятого 82 генератора тока. Причем значения токов I_у3 и I_y5 генераторов тока 80 и 82 должны быть в несколько раз больше значения выходных токов генераторов тока 51 и 52, содержащихся в нелинейных двухполюсниках, входящих в состав второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса вместе с данным усилителем напряжения.

Сопротивления первого 76 и второго 77 резисторов и выходной ток третьего 80 генератора тока, содержащихся в усилителях напряжения, входящих в состав второго, третьего, четвертого и пятого нелинейных преобразователей импеданса, связаны следующими соотношениями I_y3R12=(1.2…3)U_бэ, R11=(1…15)R12, где R11 и R12 - значения сопротивлений первого 76 и второго 77 резисторов усилителя, U_бэ - значение базо-эмиттерного наряжения шестого 74 транзистора усилителя.

Второй и третий нелинейные преобразователи импеданса фиг. 29) представляют собой преобразователи импеданса, изменяющие импеданс путем преобразования напряжения (U-ПИ), которые работают следующим образом. Каждый из них содержит дифференциальный усилитель напряжения 20 с высоким коэффициентом усиления, имеющий дополнительный токовый выход. Усилитель имеет высокие входные сопротивления по обоим входам и низкое выходное сопротивление по первому выходу. Дополнительный (второй) выход представляет собой выход повторителя тока, с высоким выходным сопротивлением. Его назначение - генерировать ток, равный току, протекающему через первый, низкоомный, выход усилителя, так, чтобы переменный ток втекающий в первый выход усилителя, был равен переменному току, вытекающему из второго выхода усилителя.

Так как разность потенциалов между входами усилителя пренебрежимо мала, падение напряжений на резисторе R равно падению напряжений на линейном емкостном элементе (конденсаторе), следовательно, ток i₁, протекающий в этом резисторе, равен u_C/R; этот же ток протекает в цепи нелинейного резистора R_НЛ, напряжение на котором зависит от величины протекающего через него тока а следовательно от напряжения на конденсаторе u_НЛ(i₁)=u_НЛ(u_C/R).

Вследствие пренебрежимо малой разности потенциалов между входами усилителя, напряжение между первым и вторым выходами нелинейного преобразователя импеданса равно падению напряжений на нелинейном резисторе u_НЛ(u_C/R). При этом ток, протекающий через конденсатор, равен сумме тока i₁, протекающего в цепи резисторов R и R_НЛ, и тока i_C-i₁ протекающего в цепи первого и второго выходов усилителя. Поэтому через выход нелинейного преобразователя импеданса протекает ток, равный току, протекающему через линейный емкостной элемент.

Таким образом, при подключении линейного емкостного элемента к внешней цепи через второй или третий нелинейный преобразователь импеданса, через выходы преобразователя протекает ток, равный току, протекающему в линейном емкостном элементе, а падение напряжений между выходами преобразователя равно u_НЛ(u_С/R)=u₁(u_C). То есть совокупность конденсатора и второго (или третьего) нелинейного преобразователя импеданса образует эквивалентный нелинейный емкостной элемент с заданной вольт-амперной характеристикой.

Четвертый и пятый нелинейные преобразователи импеданса представляют собой преобразователи импеданса, изменяющие импеданс путем преобразования тока (I-ПИ), которые работают следующим образом (фиг. 30). Каждый из них содержит такой же усилитель, что и второй и третий нелинейные преобразователи импеданса.

С учетом того, что разность потенциалов между входами усилителя напряжения и его входные токи пренебрежимо малы, напряжение между выходами нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на линейном индуктивном элементе (например, катушке индуктивности), кроме этого равны напряжения на линейном 21 и нелинейном 22 резисторах. Через нелинейный резистор протекает ток, равный току в цепи линейного индуктивного элемента. В результате на нелинейном резисторе 22 возникает зависящее от величины тока в линейном индуктивном элементе падение напряжений u_НЛ(i₁), под действием которого в цепи линейного резистора 21 протекает ток i(i_L)=u_НЛ(i_L)/R. При этом на первый, низкоомный, выход усилителя поступает ток i_L-i(i_L), этот же ток вытекает из второго выхода усилителя и в сумме с током i_L поступает во внешнюю цепь. То есть, во внешнюю цепь поступает ток, протекающий в цепи линейного резистора i(i_L).

Таким образом, при подключении линейного индуктивного элемента к внешней цепи через четвертый или пятый нелинейный преобразователь импеданса, через выходы преобразователя протекает ток i(i_L) а между ними падает напряжение u_L. То есть совокупность линейной индуктивности и четвертого (или пятого) нелинейного преобразоватея импеданса образует эквивалентный нелинейный индуктивный элемент с требуемой вольт-амперной характеристикой.

Примером практической реализации заявленного генератора хаотических колебаний может служить схема, имеющая следующие параметры.

Пусть R=500 Ом, С2=100нФ, R3=1000 Ом, R7₂=R7₃=R7₄=R7₅=600 Ом, I₀=250 мкА. Тогда в случае А=2, В=2, С=2, D=-0.7, а=1, b=-6, d₁=d₂=d₃=d₄=10, h₁≈2.5, h₂≈2.0, h₃≈2.2, h₄≈3.2, s₁=s₂=s₃=s₄=0, M₁=N₁=M₂=N₂=M₃=N₃=M₄=N₄=2, хаотические колебания, соответствующие этим параметрам уравнений (3), наблюдаются при следующих номиналах колебательной системы генератора: С1≈50нФ, L1=L2≈12.5 мГн, первого нелинейного преобразователя импеданса: R2≈440 Ом, R3≈3 кОм, R4≈500 Ом, I₁≈300 мкА, I₄≈1.1 мА, второго нелинейного преобразователя импеданса: R5₂≈660 Ом, R6₂≈6.6 кОм, I₁₂=J₃₂≈500 мкА, I₂₂≈4 мА, I₃₂≈3 мА, третьего нелинейного преобразователя импеданса: R5₃≈660 Ом, R6₃≈6.6 кОм, I₁₃=J₁₃≈400 мкА, I₂₃≈3.8 мА, I₃₃≈3 мА, четвертого нелинейного преобразователя импеданса: R5₄≈660 Ом, R6₄≈6.6 кОм, I₁₄=J₁₄≈600 мкА, I₂₄≈4.2 мА, I₃₄≈3 мА, пятого нелинейного преобразователя импеданса: R5₅≈660 Ом, R6₅≈6.6 кОм, I₁₅=J₁₄≈900 мкА, I₂₅≈3.8 мА, I₃₅≈3 мА, устройства с отрицательным сопротивлением: R1=350 Ом, I_уос≈1 мА, усилителя напряжения: R11≈5 кОм, R12≈1 кОм, I_у1≈400 мкА, I_у2≈200 мкА, I_у3=I_у5≈5 мА, I_у4≈10 мА.

Соответствующие этим значениям параметров генератора примеры проекций его безразмерного странного аттрактора на плоскости (х,у), (x,z), (x,w), (y,z), (y,w), (z,w), а также соответствующие примеры зависимостей безразмерных переменных x, у, z и w от времени, приведены на фиг. 18-27.

Повышенная точность и температурная стабильность нелинейных преобразователей импеданса обусловлена тем, что их передаточные характеристики практически не зависят от параметров транзисторов, вследствие взаимной компенсации эмиттерных сопротивлений транзисторов 22 и 21, 25 и 23, 26 и 24, 27 и 28, 32 и 30, 33 и 31 в первом нелинейном преобразователе импеданса, транзисторов 66 и 64, 65 и 63 в активных четырехполюсников, а также транзисторов 56 и 54, 57 и 55 в устройстве с отрицательным сопротивлением.

Таким образом, заявленный генератор гиперхаотических колебаний выгодно отличается от прототипа и аналогов, в которых перестройка генерируемого сигнала возможна только за счет изменения параметров исходного хаотического аттрактора, тем, что он позволяет реализовать составной хаотический мультиаттрактор, получаемый объединением исходного хаотического аттрактора с одной или более его копий, вследствие чего перестройку генерируемых гиперхаотических колебаний можно дополнительно осуществлять изменением количества и взаимного расположения входящих в состав мультиаттрактора компонентов, благодаря чему заявленный генератор обладает значительно большими возможностями перестройки параметров генерируемого гиперхаотического сигнала.

Реферат

Изобретение относится к радиотехнике и может быть использовано в качестве источника гиперхаотических электромагнитных колебаний. Технический результат заключается в расширении возможностей регулирования параметров генерируемого гиперхаотического сигнала. Генератор гиперхаотических колебаний содержит резистор, два нелинейных емкостных элемента, два нелинейных индуктивных элемента, устройство с отрицательным сопротивлением и нелинейный преобразователь импеданса. 1 з.п. ф-лы, 29 ил.

Формула

где i(i₁) - ток, протекающий через выходные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, i₁ - ток, протекающий через входные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, I₀ - абсолютная величина граничных токов между средним проходящим через начало координат и первым и вторым боковыми участками передаточной характеристики, IS₀ - абсолютное значение граничных токов между первым и третьим и между вторым и четвертым боковыми участками передаточной характеристики, а и b - вещественные константы, напряжение на первом входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на первом выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, напряжение на втором входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на втором выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит первый линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит второй линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами третьего нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит первый линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, второй двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит второй линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами пятого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, переменный ток, протекающий в цепи первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, равен переменному току, протекающему в цепи первого линейного емкостного элемента, напряжение между выводами первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением равно u₁(u_C1)=U₀H₁(x), где u_C1 - переменное напряжение на первом линейном емкостном элементе, U₀=I₀R, R - сопротивление резистора,

d₁, h₁ и s₁ - вещественные коэффициенты, М₁ и N₁ - целые неотрицательные числа, переменный ток, протекающий в цепи второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, равен переменному току, протекающему в цепи второго линейного емкостного элемента, напряжение между выводами второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением равно u₂(u_C2)=U₀H₂(у), где u_C2 - переменное напряжение на втором линейном емкостном элементе, U₀=I₀R, R - сопротивление резистора,

d₂, h₂ и s₂ - вещественные коэффициенты, M₂ и N₂ - целые неотрицательные числа, переменное напряжение между выводами первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением равно переменному напряжению на первом линейном индуктивном элементе, ток, протекающий в цепи первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, равен i₁(i_L1)=I₀H₃(z), где i_L1 - переменный ток, протекающий в цепи первого линейного индуктивного элемента,

d₃, h₃ и s₃ - вещественные константы, M₃ и N₃ - целые неотрицательные числа, переменное напряжение между выводами второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением равно переменному напряжению на втором линейном индуктивном элементе, ток, протекающий в цепи второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, равен i₂(i_L2)=I₀H₄(w), где i_L2 - переменный ток, протекающий в цепи второго линейного индуктивного элемента,

d₄, h₄ и s₄ - вещественные константы, M₄ и N₄ - целые неотрицательные числа.