Способ защиты туго натянутых кабелей от колебаний - RU2606715C2

Чертежи

Показать все 10 чертежа(ей)

Описание

Область техники

В общем данное изобретение относится к способу, позволяющему защитить туго натянутые кабели от колебаний, которые могут быть вызванными ветром, дождем, землетрясениями или движением транспорта. Данное изобретение также относится к устройствам, могущим быть полезными для защиты туго натянутых кабелей от колебаний.

Уровень техники

Кабели мостов, подверженные воздействию ветра, дождя, движения транспорта и (более редко) землетрясений, проявляют значительные движения, иногда совпадающие с колебаниями ездового полотна. Эти опасные движения, ведущие к усталостным повреждениям и, в наихудших случаях, к обрыву кабеля или обрушению моста в крайних ситуациях, обусловлены резонансными явлениями. Резонансные явления можно определить как «нахождение каждой частицы в одновременном гармоническом движении с одинаковой частотой». Резонанс - это склонность системы колебаться на одних частотах с большей амплитудой, чем на других. Резонанс возникает, когда сообщаемая энергия в основном фокусируется на одной моде колебаний конструкции, то есть на одном конкретном значении периода колебаний. После каждого нового периода времени сообщаемая энергия складывается с предыдущей. Это сложение ведет к достижению высокого уровня колебаний, называемого резонансом. Таким образом, колебания кабелей могут иметь очень пагубные последствия для моста. В связи с этим были рассмотрены и предложены многочисленные решения по снижению или предупреждению (избыточных) колебаний кабелей.

Большинство предложенных решений основано на одном понятии, называемом, в общем, демпфированием. Демпфирование соответствует любому воздействию, направленному на уменьшение амплитуды колебаний в колебательной системе, влияющему на последствия резонансных явлений, а не на их причину. Демпфирование может быть объяснено с точки зрения энергии. Сообщаемая энергия (такая, как колебания, вызванные ветром, дождем, землетрясениями или движением транспорта) вызывает колебательные движения конструкции (колебания), которые можно измерить кинетической энергией конструкции. Посредством соединения с кабелями некоторых устройств, называемых демпферами, часть кинетической энергии внутри этих устройств посредством различных механизмов преобразуют в теплоту. Демпфер - это устройство, гасящее, ослабляющее или подавляющее колебания кабеля. Таким образом, энергия отводится из основной конструкции в демпфер, где вязкая жидкость, вязкоупругие материалы, магнитно-реологические материалы или материалы с гистерезисными свойствами преобразуют энергию. При демпфировании форма динамического движения не изменяется, но амплитуда мод уменьшается за счет демпфирующего воздействия устройств. Большинство демпферов являются пассивными устройствами, что обусловлено их практическим применением, небольшой стоимостью и прочностью. В случае кабелей демпферы чаще всего устанавливают рядом с местом закрепления кабелей. Данный способ довольно прост, но его эффективность ограничена расположением демпферов на кабеле. Максимальный коэффициент увеличения затухания составляет около 2-х и только для немногих мод. Другим неудобством в отдельных случаях является старение демпферов, обусловленное постоянной работой используемого материала или жидкости. Из-за этой проблемы демпферы, при снижении их эффективности, должны заменяться более одного раза в течение срока службы конструкции. В некоторых случаях они также существенно влияют на дизайн моста, так как обычно имеют значительные размеры, обусловленные силами, воздействующими на них рядом с местами закрепления.

Ввиду этого были разработаны новые пассивные системы, использующие тот же самый процесс демпфирования. Указанные новые пассивные системы включают в себя использование сплавов с памятью формы (СПФ), представляющих собой проволоку, обычно сделанную из никеля и титана. Интерес, по сравнению с классическими устройствами, по существу представляет их минимальная хаотичность. В этих системах демпфирование происходит благодаря гистерезисной характеристике сплава с памятью формы.

Кроме того, за последние десять лет большинство пассивных решений было коренным образом усовершенствовано посредством активного или полуактивного управления демпферами с использованием различных приемов и алгоритмов. Данные способы привнесли различные усовершенствования в демпфирование колебаний. Однако активные или полуактивные средства управления демпферами непросто реализовать. Кроме того, они требуют источника электрического питания и электронного обеспечения. Как следствие, необходимо частое техническое обслуживание и возрастают расходы, что заставляет мостостроителей по-прежнему отдавать предпочтение пассивным решениям и использовать активные или полуактивные средства управления демпферами только для отдельных конструкции.

Другое решение, названное резонансным виброгасителем (TMD), может применяться в отдельных случаях, если конструкция постоянно подвержена воздействию определенной силы, соответствующей одной из собственных частот колебаний конструкции. Соединив через посредство пружины небольшую массу с конструкцией, можно противодействовать части колебательного движения конструкции малой массой, движущейся в противофазе. Таким образом, часть энергии передается новой степени свободы, добавленной конструкции. Вместо одной появляются две новые моды с меньшими амплитудами, а виброгаситель, как правило, соединен с массой, добавленной для ограничения его движения. Таким образом, механизм, в общем случае, содержит виброгаситель, соединенный с массой, добавленной для ограничения его движения. Данный механизм обычно не применяется на кабелях, так как спектры возбуждения, чаще всего широкого диапазона, могут возбуждать одну из созданных новых мод. Данные устройства чаще применяются на самих мостах под ездовым полотном, если ожидается определенная частота колебаний. Однако к недостаткам этих устройств относятся увеличенный вес и их расположение.

Еще одной специфической системой, используемой для кабелей, являются натяжные элементы в виде поперечных стяжек, который чаще всего изготовлены из стальных стержней или жил, соединяющих вместе несколько кабелей. Результатом является радикальное уменьшение амплитуды колебаний отдельных кабелей. Затруднение вызывают новые локальные моды между стяжками и конструкция поперечных стяжек, которую не всегда легко оптимизировать. Другим неудобством является эстетика решения в плане дизайна моста, так как поперечные стяжки работают только в том случае, если они находятся на пучностях колебаний кабеля и, следовательно, расположены далеко от мест прикрепления. Таким образом, этот тип устройств заметен и отрицательно сказывается на дизайне моста.

В связи с этим все еще имеется потребность в создании нового способа для защиты туго натянутых кабелей, эффективно нейтрализующего колебания, не требующего значительного технического обслуживания и не предполагающего использования устройства, излишне вторгающегося в эстетику.

Общее описание изобретения

Объектом данного изобретения является создание пассивного способа защиты туго натянутых кабелей от колебаний, представляющего новый принцип уменьшения колебаний, основанный на причинах распространения резонанса в кабелях. Указанный пассивный способ включает в себя перпендикулярное прикрепление устройства, содержащего одностороннюю пружину или проволоку из сплавов с памятью формы, к туго натянутому кабелю в месте прикрепления (или месте закрепления), отличающийся тем, что устройство воздействует на туго натянутый кабель (или происходит прикрепление к туго натянутому кабелю) только тогда, когда колеблющийся (движущийся) туго натянутый кабель выходит за пределы положения (SP) изменения направления, определяемого следующим уравнением (1):

SP(Aopt)=Aopt(1-2/(1+R_k)),

где Aopt - амплитуда, достигнутая туго натянутым кабелем с устройством, оптимизированная в SPopt,

R_k - отношение динамических жесткостей туго натянутого кабеля с устройством (K_ssi) и туго натянутого кабеля без односторонней пружины (K_cable).

Отношение динамических жесткостей R_k может быть рассчитано посредством непосредственного измерения резонансной частоты одного кабеля f_c(i), а частота f_(c+s)(i) постоянно присоединенного кабеля R_k может быть определена с помощью уравнения (2):

Если данный экспериментальный способ не может быть осуществлен (независимо от причин), SP можно также аппроксимировать с помощью другого частного уравнения, используя способ Галеркина. В данном случае R_k определяется следующим уравнением (3):

где 1,1k<1,4, что соответствует приращению жесткости, подходящему для достижения надежного, но эффективного ослабления колебаний, ks - жесткость односторонней пружины или жесткость проволоки из сплава с памятью формы (например, нитиноловой проволоки) в аустенитной фазе (упругой фазе), i соответствует индексу резонансной моды, L - длина кабеля, aр - место прикрепления (или закрепления) устройства.

В результате уравнение SP теперь связано с местом прикрепления (или местом закрепления) (ар) посредством замены R_k уравнением (3) в уравнении (1), уравнением (4):

Как правило, для облегчения монтажа разработчик кабеля предоставляет значения длины кабеля L, жесткости кабеля k_(c)(i) для ослабляемой моды i и максимального удаления места прикрепления устройства (ар). Если ks уже определена жесткостью имеющейся пружины (или проволокой из СПФ, например нитиноловой проволокой), для получения правильного значения SP предпочтительно принять максимальное удаление (ар), разрешенное разработчиком, и выбрать из набора имеющихся пружин набор для получения коэффициента R_k~1.4. Пределы оптимального положения изменения направления с учетом оптимальной амплитуды можно записать, заменив R_k в уравнении (4) на 1,1 (мин. предел) и 1,4 (макс, предел) уравнением (5):

0.05*Aopt

Из этого результата можно заметить, что SP составит менее 17% максимальной амплитуды колебания кабеля в месте закрепления (или прикрепления) ар. Это всегда малая величина, близкая к нулю, поэтому для настройки требуется точность. По этой причине, в общем, предпочтительным является описанный выше экспериментальный способ.

Таким образом, SP можно определить двумя различными способами, а именно используя:

либо уравнения (1) и (2), если R_k можно определить экспериментальным способом,

либо уравнения (3) и (4), принимая Aopt~A_max/3, поскольку коэффициент уменьшения амплитуды по сравнению с одним только кабелем увеличился приблизительно в 3 раза. Здесь А_mах - значение максимальной амплитуды колебаний кабеля в месте закрепления (или прикрепления) (ар), измеренное или рассчитанное, предоставленное разработчиком кабеля или ответственным за мониторинг кабеля.

Способ согласно данному изобретению включает в себя перпендикулярное прикрепление к туго натянутому кабелю и непостоянное (нерегулярное) воздействие устройства на данный туго натянутый кабель. Это означает, что устройство не воздействует на туго натянутый кабель постоянно. Другими словами, устройство воздействует на туго натянутый кабель только спорадически. Однако перпендикулярное прикрепление устройства к туго натянутому кабелю является постоянным, несмотря на то, что воздействие устройства, в особенности воздействие односторонней пружины или проволоки из сплава с памятью формы непостоянно (происходит спорадически или нерегулярно). В известных способах используются устройства, постоянно воздействующие на основную конструкцию. В отличие от известных способов защиты туго натянутых кабелей от колебаний, данный способ не требует постоянного воздействия устройства на туго натянутый кабель (или прикрепления к туго натянутому кабелю). Устройство, могущее содержать одностороннюю пружину или проволоку из сплава с памятью формы, соединяется с кабелем, когда кабель начинает чрезмерно двигаться в результате внешнего возбуждения. Действительно, односторонняя пружина или проволока из сплава с памятью формы воздействует на туго натянутый кабель только тогда, когда туго натянутый кабель достигает положения за пределами положения изменения направления. Так как движение кабеля является псевдопериодическим в течение всего времени колебаний, он будет автоматически действовать (или будет соединен) и прекращать действовать (или будет отсоединен) при каждом пересечении им SP. Данная особенность позволяет системе попеременно изменять динамические характеристики основного кабеля и, таким образом, делает ее уникальной концепцией уменьшения колебаний.

Действительно, положение изменения направления [движения - прим. переводчика] туго натянутого кабеля соответствует заданному положению туго натянутого кабеля, которое в конечном счете будет достигнуто во время движения туго натянутого кабеля, вызванного усиливающимися колебаниями. Другими словами, устройство воздействует на туго натянутый кабель только тогда, когда туго натянутый кабель подвержен колебаниям, вызывающим движение туго натянутого кабеля за пределы (или сверх пределов) положения (SP) изменения направления.

Все известные способы защиты туго натянутого кабеля от колебаний основаны на одном и том же принципе: передаче энергии от туго натянутого кабеля другим кабелям (случай поперечных стяжек) или устройствам (случай TMD и демпферов). Действительно, известные способы защиты включают в себя постоянное воздействие устройства на туго натянутый кабель (или прикрепление к туго натянутому кабелю), а часть энергии колебаний отводится из конструкции в устройство (демпфер, TMD или поперечные стяжки). Например, в обычных демпферах часть энергии отводится из конструкции в демпфер. В TMD эта часть входит в добавленное устройство, являющееся колеблющейся массой со своим малым демпфером. В поперечной стяжке часть энергии передается другим кабелям посредством прикрепления поперечной стяжки. Результирующее движение остается синусоидальным или комбинацией синусоидальных движений.

Способ согласно данному изобретению включает в себя периодическое воздействие устройства на туго натянутый кабель (или прикрепление к туго натянутому кабелю). В контексте данного изобретения выражение «периодическое воздействие (или прикрепление)» относится к воздействиям устройства на туго натянутый кабель, когда туго натянутый кабель достигает положения изменения направления. В действительности, действуя таким образом, устройство не отводит энергию из конструкции, а заставляет ее изменить свою динамическую характеристику. Все известные способы отводят энергию из основной конструкции к добавленной конструкции (TMD или поперечные стяжки) или к самому устройству (демпферы). Способ согласно данному изобретению предусматривает только одностороннюю пружину или проволоку из СПФ, а энергия остается в основном кабеле. Движение кабеля более не управляется конкретным резонансом, а распределяется на множество резонансов, что ведет к уменьшению амплитуды глобального максимума, достигнутой кабелем. Кроме того, поскольку пружина не является диссипативным элементом, энергия в ней не преобразуется. Когда пружина помещена в систему, невозможно понизить энергию в большей степени, чем ее понижает исходная конструкция. В итоге был разработан новый принцип ослабления колебаний кабеля.

Другим объектом данного изобретения является устройство для защиты туго натянутого кабеля от колебаний, содержащее одностороннюю пружину, содержащую сплав с памятью формы, перпендикулярно присоединенную к туго натянутому кабелю и непостоянно (или нерегулярно) воздействующую на туго натянутый кабель (или непостоянно прикрепленную к туго натянутому кабелю). Прежде всего, преимуществом данного устройства является уменьшенная хаотичность. «Перпендикулярно присоединенное к туго натянутому кабелю» означает, что устройство соединено с туго натянутым кабелем под углом около 90 градусов (например, +/-10 градусов, предпочтительно не более +/-5 градусов). Другими словами, угол, образованный пересечением туго натянутого кабеля и устройства, составляет около 90 градусов. «Непостоянно (или нерегулярное) воздействующее на туго натянутый кабель» означает, что устройство согласно данному изобретению воздействует на туго натянутый кабель только тогда, когда туго натянутый кабель достигает, выходит за пределы или пересекает положения изменения направления.

Другой объект данного изобретения относится к применению устройства для защиты туго натянутого кабеля от колебаний согласно данному изобретению, прежде всего в таких сооружениях, как мосты.

Описание чертежей

Фиг. 1: четыре диаграммы, соответствующие характеристике пружины (в данном случае проволоки из сплава с памятью формы, а именно нитриноловой проволоки), присоединенной к одному и тому же кабелю для 4-х натяжений, соответствующих 4-м положениям изменения направления.

Фиг. 2: винтовое устройство, которое может быть использовано в данном изобретении.

Фиг. 3: экспериментальное движение кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению для четырех положений изменения направления, соответствующих фиг. 1, и свободного кабеля, не оснащенного устройством согласно данному изобретению.

Фиг. 4: амплитудно-частотные спектры движений кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению (самый низкий пик, то есть кривая, обозначенная как «Кабель + SSI опт.», устройство SSI означает «инициатор изменения состояния») и амплитудно-частотные спектры движений кабеля, оснащенного эквивалентной линейной пружиной (штриховая пунктирная линия, то есть кривая, обозначенная «Кабель + эквив. SSI пружина»).

Фиг. 5: экспериментальные кривые движения кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению (кривая, обозначенная «SSI опт. кабель») и свободного кабеля, не оснащенного устройством (кривая, обозначенная «Свободный кабель»).

Фиг. 6: изменение коэффициента ослабления с учетом положения изменения направления (4 случая) для 2-х уровней воздействия.

Фиг. 7: сопоставление затуханий при длительном периоде возбуждения и для датчика перемещения на L/6. Первый график показывает случай большой амплитуды, где устройство эффективно, а второй график показывает полное затухание движения.

Фиг. 8: сопоставление затуханий при коротком периоде возбуждения и для датчика перемещения на L/2 для полного затухания движения.

Фиг. 9: пример сравнения затухания для отпускания массы, равной 70 кг, в 10 метрах [от - прим. переводчика] места прикрепления и для смещения на 40 м (первый график) и на 22,5 м (второй график) от места прикрепления.

Фиг. 10: изменение амплитуды, затухания и частоты свободного кабеля, не оснащенного устройством согласно данному изобретению.

Фиг. 11: изменение амплитуды, затухания и частоты кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению.

Фиг. 12: изменение амплитуды, затухания и силы во время большого возбуждения кабеля, не оснащенного устройством согласно данному изобретению.

Фиг. 13: изменение амплитуды, затухания и силы во время большого возбуждения кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению.

Фиг. 14: сопоставление спектров кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению и свободного кабеля, не содержащего никакого устройства.

Фиг. 15: возможный вариант осуществления устройства согласно данному изобретению.

Фиг. 16: соотношение кабеля и проволочной пружины (см. приведенное ниже уравнение (8), d - диаметр проволоки)

Описание предпочтительных вариантов осуществления изобретения

Как указано выше, одним объектом данного изобретения является пассивный способ защиты туго натянутых кабелей от колебаний, включающий в себя перпендикулярное прикрепление устройства, содержащего одностороннюю пружину или проволоку из сплавов с памятью формы, к туго натянутому кабелю в месте прикрепления (или месте закрепления), отличающийся тем, что воздействие (или прикрепление) устройства (прежде всего воздействие односторонней пружины из проволоки из сплава с памятью формы) на туго натянутый кабель происходит только тогда, когда туго натянутый кабель выходит за пределы положения (SP) изменения направления, определяемого посредством ранее приведенного уравнения (1).

Практически, если R_k является функцией (K_cable, K_ssi, ар), определенных до установки устройства, [где - прим. переводчика] ар обозначает место прикрепления или место закрепления устройства к туго натянутому кабелю, то оптимальное [значение - прим. переводчика] SPopt можно найти, используя приведенное выше уравнение (1), когда А=Aopt.

Даже если Aopt неизвестно, оно, а также Sopt, может быть аппроксимировано посредством трех нижеприведенных исследований:

1-й этап: Первое исследование заключается в определении воздействия (Im), соответствующего максимальной амплитуде, ожидаемой на свободном кабеле.

2-й этап: Второе исследование заключается в приложении ранее определенного Im к туго натянутому кабелю при SP, равном нулю, для получения амплитуды А₀, близкой к Aopt, так как разница жесткостей мала. Значение SP(A₀) несколько больше, чем SP optimal. Следует заметить, что если жесткости одинаковы, то SP=0, так как система является линейной системой.

3-й этап: Для очень точного приближения к SPopt необходимо выполнить третий этап, сдвигая SP от нуля к SP(A₀), рассчитанному с помощью приведенного выше уравнения. Затем туго натянутый кабель следует возбудить воздействием Im для получения значения максимального перемещения Aopt. В результате новое значение SP, очень близкое к SPopt, рассчитывается посредством приведенного выше уравнения.

Способ согласно данному изобретению включает в себя перпендикулярное прикрепление и непостоянное (или нерегулярное) воздействие устройства на туго натянутый кабель. Действительно, устройство воздействует на туго натянутый кабель (или присоединяется к туго натянутому кабелю) тогда, когда туго натянутый кабель подвергается внешним воздействиям, таким, как ветер, дождь, движение транспорта или землетрясение, которые вызывают колебания и резонансы по всему туго натянутому кабелю. Для эффективного уменьшения движения, а также ввиду того, что резонанс вызывает периодическое или псевдопериодическое движение, устройство должно воздействовать на туго натянутый кабель только тогда, когда туго натянутый кабель выходит за пределы заданного положения, называемого положением изменения направления (SP, как правило, близкого к статическому положению кабеля). Таким образом, устройство активно только в течение части периода колебания исходного туго натянутого кабеля.

Способ согласно данному изобретению включает в себя нерегулярное воздействие устройства на туго натянутый кабель. Это означает, что устройство не воздействует на туго натянутый кабель постоянно. Действительно, устройство в связи с этим только спорадически воздействует на туго натянутый кабель, когда это необходимо. Именное это попеременное воздействие обеспечивает коренное изменение динамической характеристики туго натянутого кабеля конструкции. Кроме того, так как устройство согласно данному изобретению не является диссипативным (а только пружиной или проволокой из СПФ), энергия у туго натянутого кабеля не отбирается. Таким образом, колебательное движение конструкции становится более сложным.

Действительно, в данном способе наблюдалось два различных эффекта уменьшения движения.

Первый эффект уменьшения движения заключается в том, что линейная характеристика туго натянутого кабеля преобразована в характеристику билинейного осциллятора. Это означает, что туго натянутый кабель, оснащенный устройством согласно данному изобретению, ведет себя не как линейная система, а скорее как система билинейного осциллятора. Действительно, туго натянутый кабель вынужден изменять свои динамические характеристики за заданное время цикла или в заданном положении, то есть в положении изменения направления. Таким образом, туго натянутый кабель вынужден периодически изменять набор значений собственной частоты колебаний.

Действительно, в отличие от известных способов, представленных выше, энергия у туго натянутого кабеля не отбирается. Кинетическая энергия остается в туго натянутом кабеле.

Начиная с положения покоя кабеля и пружины или проволоки из СПФ, когда кабель в результате колебаний поднимается, он движет пружину и часть (небольшая) энергии кабеля преобразуется в кинетическую энергию пружины или проволоки из СПФ. Когда кабель возвращается из максимального верхнего положения, потенциальная упругая энергия (K_sx²/2), накопленная в растянутой пружине или проволоке из СПФ, возвратится кабелю посредством силы, прилагаемой ей к кабелю. Данная отобранная у кабеля кинетическая энергия полностью возвращается кабелю в виде упругой энергии, как это показано на фиг. 1 слева вверху (прямая линия). Остаток равен нулю, что означает, что устройство не имеет накопленной энергии.

Ввиду того, что способ согласно данному изобретению преобразует линейную характеристику исходного туго натянутого кабеля в характеристику билинейного осциллятора, полупериоды колебаний становятся ассиметричными относительно нулевых осей амплитуд. Основным свойством билинейного осциллятора с одной степенью свободы (СС) является то, что при возбуждении на его собственном резонансе его откликом является движение со многими степенями свободы. Другими словами, билинейный осциллятор способен перераспределять энергию на супергармоники и субгармоники конструкции. Моды колебаний туго натянутого кабеля изменяют посредством способа согласно данному изобретению. Более того, можно наблюдать аппроксимированное удвоение количества возбужденных мод. В итоге данный способ использует непрерывное изменение мод колебаний таким образом, что резонансное движение является не единственно возможным, а распределено на несколько меньших движений. Таким образом, каждая мода колебаний захватывает часть общей сообщаемой энергии (вызванной дождем, ветром, движением транспорта или землетрясением), если энергия распределена по большему количеству мод, каждая из них будет проявлять меньшие движения и явление резонанса будет ослаблено.

Второй результат способа согласно данному изобретению заключается в использовании явления модовой взаимосвязи. Данное явление можно наблюдать во время периода затухания колебаний, так как оно проявляется в усилении эффекта затухания и, вследствие этого, сокращает время колебаний. Действительно, туго натянутые кабели зачастую подвержены воздействию альтернативных внешних сил, таких как ветер, дождь, землетрясение или движения транспорта, которые создают вынужденный период [период вынужденных колебаний - прим. переводчика] в несколько секунд, за которым следуют периоды (как правило, более длительные) затухания колебания. В течение этих периодов, желательно, иметь большее демпфирование для сокращения времени колебаний. Однако в случае способа согласно данному изобретению это невозможно, так как используются только упругие элементы. Несмотря на это, ввиду того, что положение изменения направления хорошо продумано, а также ввиду того, что мы находимся в условиях биений, имеется возможность использовать противодействие внутренних резонансов. Это приводит к радикальному ослаблению сигнала ниже амплитуды, для которой он остается в чистом состоянии, а значит, без биений. Сигнал не будет снова усиливаться, как это происходит при обычных явлениях биений. Таким образом, конструкции, по меньшей мере, для больших амплитуд был добавлен существенный эффект демпфирования.

Согласно одному варианту осуществления данного изобретения место прикрепления (ар) (или место закрепления) устройства к туго натянутому кабелю находится в пределах от 0,05×L до 0,25×L, где L обозначает длину туго натянутого кабеля. Прежде всего, место прикрепления устройства к туго натянутому кабелю находится в пределах от 0,10×L до 0,25×L. Прежде всего, в предпочтительном варианте осуществления изобретения место прикрепления (ар) устройства к туго натянутому кабелю составляет около 0,15×L.

Помимо всего прочего, должно быть понятно, что место прикрепления устройства к туго натянутому кабелю находится вне положений узлов основных мод колебаний. Кабели колеблются в двух направлениях (в плоскости и вне плоскости). При использовании классических систем ослабления колебаний существенно важна плоскость прикрепления устройства, так как она в большей степени будет оказывать влияние на моды, в которых они установлены. Действительно, демпферы, как правило, устанавливают парами под максимально большим углом, близким к 90 градусам, с тем, чтобы оны были эффективны в обоих направлениях. Устройство согласно данному изобретению имеет особенность, заключающуюся в том, что оно работает, изменяя жесткость кабеля в вертикальном направлении, так как устройство установлено между кабелем и ездовым полотном. Однако, благодаря симметрии участка кабеля, колебания всегда присутствуют в обоих направлениях, в плоскости и вне плоскости, с большей амплитудой в направлении внешней силы. Так как эффект ослабления колебаний зависит от изменения жесткости и амплитуды, он будет присутствовать в горизонтальном направлении только для большой амплитуды, так как является только составляющей вне оси пружины, которая слабо изменяет горизонтальную жесткость. Согласно одному варианту осуществления изобретения устройство присоединено к туго натянутому кабелю в плоскости ослабляемых колебаний.

Согласно отдельному варианту осуществления данного изобретения способ включает в себя использование устройства, содержащего проволоку из сплава с памятью формы (СПФ). Прежде всего, сплавы с памятью формы могут быть металлическим сплавом никеля и титана. Действительно, сплавы с памятью формы представляют собой бинарные сплавы, в большинстве случаев состоящие из соединения никеля и титана. Примером подобных сплавов с памятью формы является нитинол. СПФ изменяют свою кристаллическую структуру при охлаждении или нагревании, а также в присутствии поля напряжений. Например, кристаллическая структура является упорядоченной кубической, однако, после фазового превращения из аустенита в мартенсит, она изгибается. Результатом является значительная упругая деформация образца, обратимая при возвращении в аустенитную фазу. Это свойство неразрушения кристаллической структуры, когда сплав находится под напряжением, является так называемой сверхупругой характеристикой материала. Кроме того, кривая характеристики материала на теоретической диаграмме напряжение-деформация показывает плоский уровень напряжения в фазе нагружения, в то время как другое плато появляется при меньшем уровне напряжения во время фазы разгрузки. Разница между двумя уровнями напряжения, умноженная на соответствующую деформацию, дает энергию, поглощенную сплавами с памятью формы в петле гистерезиса. Таким образом, сплав с памятью формы представляет собой сплав, «запоминающий» свою первоначальную холоднокованую форму и возвращающийся к форме до предварительной деформации при нагревании. Кроме того, этот материал является легкой твердотельной альтернативой обычным исполнительным механизмам, таким, как системы на основе гидравлического, пневматического и электрического привода. Другим преимуществом сплавов с памятью формы является то, что они могут быть представлены в виде пружины и демпфера, совмещенных в простой проволоке: пружина - благодаря сверхупругости материала, а демпфер - благодаря гистерезисному циклу, проявляемому материалом при большой деформации. Действительно, когда СПФ, например нитинол, подвергается сильным движениям, он ведет себя как демпфер, а когда он подвергается слабым движениям, он ведет себя как пружина.

Согласно одному отличительному признаку данного изобретения никель и титан присутствуют в металлических сплавах в равных атомных процентных концентрациях.

Несмотря на то, что диаметр проволоки может быть выбран в более широком диапазоне, диаметр нитиноловой проволоки, предпочтительно, составляет от 1 до 3 миллиметров, более предпочтительно от 1 до 2 миллиметров. Основные причины использования тонкой проволоки из СПФ:

- назначением устройства согласно данному изобретению является небольшое количественное изменение динамической жесткости, обеспечивающее уверенность в том, что гармоника, созданная билинейным осциллятором, будет возбуждать другие моды кабеля,

- если проволока слишком жесткая, она внесет в характеристику сильную билинейность, которая может привести к слишком сильному возбуждению высших мод, что снижает усталостную прочность прикрепления,

- для получения частот модальной взаимосвязи разница или разница жесткостей с проволокой из СПФ и без нее должна быть мала,

- гистерезисная характеристика в значительной степени зависит от диаметра проволоки для динамического движения: чем меньше диаметр проволоки, тем больше цикл гистерезиса, и тем большим будет эффект затухания исключительной амплитуды.

Если требуется достижение большего эффекта затухания для исключительных нагрузок, возможно использование устройства, изготовленного из нескольких проволок из СПФ. Кроме того, полезно то, что проволока из СПФ может быть настолько тонка, что она будет способствовать эстетике сооружения, так как не будет излишне выделяться в дизайне моста.

Данное изобретение также относится к устройству, необходимому для применения способа защиты туго натянутых кабелей от колебаний. Указанное устройство содержит одностороннюю пружину, содержащую сплавы с памятью формы, перпендикулярно прикрепленное к туго натянутому кабелю и периодически (или нерегулярно) воздействующее на туго натянутый кабель. «Периодически (или нерегулярно) воздействует» означает, что туго натянутый кабель [устройство - прим. переводчика] воздействует на туго натянутый кабель не постоянно, то есть только тогда, когда туго натянутый кабель достигает (или выходит за пределы или пересекает) положения изменения направления.

Данное устройство позволяет попеременно немного (от 10% до 40%) изменять динамическую жесткость кабеля. Формула определения места прикрепления устройства согласно данному изобретению может быть разделена на два основных случая, а именно: использование классической пружины и использование проволоки из СПФ (такого, как нитинол).

Случай 1: устройство согласно данному изобретению содержит одностороннюю пружину.

В данном случае жесткость пружины не зависит от расстояния (ар).

Пределы отношения жесткостей определяются следующей формулой:

Нижний предел (1,1) определяется для получения минимальной эффективности устройства для уменьшения примерно в два раза амплитуды движения по сравнению со свободным кабелем (для обеспечения эффективности, по меньшей мере, в качестве демпфера).

Верхний предел (1,4) - это значение, полученное на кабелях, подвергнутых испытаниям в ELSA (Европейской лаборатории оценки конструктивных решений) для сохранения единого максимума в проектируемом изгибе в месте прикрепления с учетом изменения распределения мод, когда устройство присоединено к кабелю. Таким образом, верхний предел является рекомендацией, которая может быть изменена разработчиком кабеля для сохранения низкого динамического напряжения в месте прикрепления. В этом смысле это не математическая величина, а коэффициент надежности.

- Уравнение 6

Если жесткость пружины K_s задана (конструктором), и если жесткость кабеля k_с и длина кабеля L уже определены конструктором моста, устройство может быть прикреплено в месте (ар) внутри следующих пределов:

- Уравнение 7

Пример:

- Длина кабеля = L=45 м

- Жесткость кабеля, измеренная для моды №1 = (c)(1)k=35,6 кНм (где натяжение кабеля: Т=250 кН)

- Жесткость пружины (СПФ, упругой при длине 4,2 м и диаметре 2,5 мм), измеренная со всей механической системой измерения и закрепления = 40 кН.

Мы получаем следующие пределы места прикрепления (или закрепления) для установки устройства:

4.4m≤ap≤9.1m

Принятое место до установленного устройства в данном примере составило 8,2 метра.

Случай 2: устройство содержит проволоку из СПФ

В данном случае настоятельно рекомендуется испытать различные места прикрепления (ар) на кабеле для получения аппроксимированного решения. Действительно, данный случай более сложен ввиду того, что жесткость проволоки из СПФ зависит от (ар). Кроме того, проволока прикрепляется перпендикулярно кабелю, а длина проволоки не может превышать расстояние между местом прикрепления кабеля и ездовым полотном моста, как это показано на схеме, приведенной на фиг. 16, показывающей соотношение [длины - прим. переводчика] кабеля и проволочной пружины.

- Уравнение 8

Оно становится трансцендентным неравенством, решение которого может быть определено только численно и зависит от следующих параметров, заданных конструктором:

i = индекса ослабляемой моды, жесткости кабеля k_(c)(i), угла наклона кабеля tg(α), диаметра проволоки из СПФ ds.

- Уравнение 9

Согласно одному признаку данного изобретения устройство может содержать две серьги, соединенные с двумя оконечностями односторонней пружины, причем первая является нижней серьгой, соединенной с ездовым полотном моста или грунтом, а вторая является верхней серьгой, соединенной с туго натянутым кабелем.

Прежде всего, верхняя серьга соединена с туго натянутым кабелем посредством жесткого фиксирующего устройства. Жесткая фиксация между основанием кабеля и верхней оконечностью устройства достаточна и позволяет упростить конструкцию устройства. Термин «жесткая фиксация» относится к фиксации, демонстрирующей жесткость, превышающую по меньшей в пятьдесят раз поперечную жесткость кабеля в месте закрепления (или прикрепления) (ар).

Устройство может включать в себя винтовое устройство для регулирования зазора. Термин «регулирование зазора» означает, что возможно оптимизировать устройство посредством регулирования зазора малого растяжения пружины, когда кабель находится в состоянии покоя. Например, винтовое устройство, показанное на фиг. 2. Посредством поворота рукоятки верхний и нижний винты сводят или разводят, придавая проволоке пружины требуемое растяжение или зазор, необходимые для получения оптимального [места - прим. переводчика] изменения направления, эффективного при максимальной ожидаемой амплитуде. Винты и рукоятка образуют схему регулирования. Однако в устройстве согласно данному изобретению могут быть использованы другие типы винтовых устройств или схем, позволяющих получить тот же эффект. Предпочтительно, они должны быть достаточно жесткими, чтобы не добавлять дополнительную деформацию устройству согласно данному изобретению.

Устройство соединено с грунтом или с ездовым полотном моста посредством винта для регулирования зазора.

Согласно одному признаку изобретения данное устройство может содержать жесткое фиксирующее устройство, соединенное с серьгой, связанной с одной из оконечностей односторонней пружины, причем другая оконечность односторонней пружины соединена с другой серьгой, по выбору связанной с грунтом или с конструкцией (такой, как ездовое полотно моста) посредством винтового приспособления для регулирования зазора.

Односторонняя пружина из проволоки(-ок) из СПФ представляет собой упругое устройство, восстанавливающее свою форму после сжатия или растяжения. Согласно одному варианту осуществления изобретения, СПФ является нитинолом.

Согласно одному варианту осуществления изобретения диаметр нитиноловой проволоки может составлять от 1 до 3 миллиметров, предпочтительно от 1 до 2 миллиметров.

Факультативно, устройство может, кроме того, содержать тензометр. Тензометр представляет собой преобразователь, преобразующий силу в пригодный для измерения выходной электрический сигнал. Данное преобразование является опосредованным и происходит в два этапа. Воспринятая сила деформирует тензометрический датчик посредством механического приспособления. Тензометрический датчик измеряет деформацию (растяжение) как электрический сигнал, так как растяжение изменяет электрическое сопротивление проволоки. В данном случае тензометр подключен между одной оконечностью односторонней пружины и нижней серьгой.

Предпочтительно, устройство содержит проволоку из СПФ, содержащую сплавы с памятью формы, являющиеся металлическими сплавами титана и никеля. Предпочтительно, никель и титан присутствуют в металлических сплавах в равных атомных процентных концентрациях. Преимуществом этого материала является то, что он может быть смоделирован в виде пружины и демпфера, совмещенных в простой проволоке. Пружина - благодаря сверхупругости материала, а демпфер - благодаря гистерезисному циклу, демонстрируемому материалом при большой деформации.

Данное изобретение также относится к использованию устройства для защиты туго натянутого кабеля от колебаний. Прежде всего, данное изобретение относится к использованию устройства для защиты туго натянутого кабеля от колебаний, вызванных ветром, дождем, движением транспорта или землетрясением.

Все упомянутые выше варианты осуществления устройства могут быть реализованы по отдельности или могут быть объединены в разумных пределах.

Экспериментальные исследования

Во время внешних возбуждений устройство согласно данному изобретению, сконструированное с оптимальными характеристиками и установленное в заданном месте на кабеле, способно уменьшить колебательное движение в 3 раза по сравнению с тем же свободным кабелем (то есть с кабелем без устройства) или в 2 раза для кабеля с эквивалентной линейной жесткостью. Результаты экспериментальных исследований (см. фиг. 3) показывают уменьшение движения кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению с коэффициентом жесткости R_k=1,29, для различных положений изменения направления (или натяжения СПФ в состоянии покоя) по сравнению со свободным кабелем (кривая с наибольшей амплитудой, указанная на графике как «без устройства», то есть первая, обозначенная в легенде). Движение, проиллюстрированное кривой «Fспф=100» меньшей амплитуды (жирная кривая на графике, то есть последняя, обозначенная в легенде), соответствует оптимальному положению изменения направления для возбуждения в течение 40 секунд при 100 Н. Для удвоенного значения возбуждения (200 Н) та же настройка SP (100 Н) не является совершенно оптимальной, однако, тем не менее, она дала очень существенное уменьшение. Данные эксперименты с различными уровнями приложенной силы показывают надежность этого способа ослабления колебаний.

Кабель, оснащенный устройством согласно данному изобретению (SSI-кабель (кабель с инициатором переключения состояния)), становится нелинейной структурой, характеризующейся значением частоты высшей резонансной моды Fbr, чаще всего называемой билинейной частотой. Для сравнения движения кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению (SSI-кабеля) с эквивалентным линейным кабелем, нам необходимо добавить постоянно прикрепленную пружину к свободному кабелю, который становится немного более жестким, чем свободный кабель, однако сохраняет линейную характеристику, имеющую значение частоты резонансной моды Fr, равное Fbr. Мы назвали это эквивалентным SSI линейным кабелем. Именно движение этого кабеля показано на фиг. 5 последним в легенде и штриховым пунктиром на фиг. 4 для сравнения спектров. На фиг. 5 по экспериментальным кривым можно убедиться, что во время фазы возбуждения движение устройства согласно данному изобретению, оптимизированного на этом уровне возбуждения, уменьшено более чем в три [раза - прим. переводчика]. Сравнение с линейной пружиной, добавленной кабелю, при интерполяции показывает более чем двойное уменьшение движения, обусловленное устройством согласно данному изобретению. Экспериментальные огибающие перемещений кабеля на фиг. 6 показывают существование двух динамических состояний во время колебаний кабеля, когда устройство согласно данному изобретению работает. Определение двух состояний (свободного кабеля и жесткого кабеля) получено посредством измерения силы в пружине во время исследований. Результаты ясно иллюстрируют образования положения изменения направления, определенного посредством уравнения (1): SP(Aopt)=Aopt(1-2/(1+R_k)), утверждающего, что амплитуда колебаний минимальна, когда движение в состоянии 1 равно движению в состоянии 2.

Во время затухающего движения период колебания сокращается на коэффициент более трех по сравнению с кабелем без устройства или по сравнению с эквивалентным линейным кабелем. Коэффициент затухания умножается на множитель три по сравнению с кабелем без устройства или по сравнению с эквивалентным линейным кабелем (фиг. 7). Проиллюстрированы три вида экспериментального затухания, соответствующие реальному возбуждению кабелей.

- Длительное возбуждение (>30 сек или ~60 циклов) на резонансе кабеля, затем затухание.

- Короткое возбуждение (<5 сек или 10 циклов) на резонансе кабеля, затем затухание. Данные по затуханию после отпускания одной и той же массы (70 кг) [приведены - прим. переводчика] для всех испытаний (или конфигураций кабеля), что соответствует возбуждению всех мод, но с очень малой амплитудой. Результаты для кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению, соответствуют нижним кривым на фиг. 7.

Длительное возбуждение кабеля: уровень амплитуды, достигнутой кабелем, значительно меньше, чем амплитуда свободного кабеля, в этом случае сравнение можно произвести только тогда, когда обе амплитуды равны (в данном случае 35 мм) (фиг. 7).

На расстоянии, измеренном преобразователем (вблизи L/6), в сигнале присутствуют все основные моды. Тогда затухание является представлением видимого демпфирования всех мод вместе, прежде всего, для случая кабеля с устройством согласно данному изобретению, где доля высших мод увеличена.

Короткое возбуждение кабеля: здесь затухание измерено на середине длины кабеля для демонстрации того, что затухание присутствует по всему кабелю. В данном случае мы получаем, главным образом, видимое демпфирование только первой моды. После кратковременного возбуждения: 10 циклов на первой резонансной частоте каждой системы, результаты выглядят следующим образом (фиг. 7).

Отпускание массы (70 кг). Исследование затухания при очень малом перемещении кабеля:

Груз был прикреплен на расстоянии 10 метров от места прикрепления, а перемещения были измерены в различных точках кабеля (8, 22,5, 33, 40 м) для обнаружения возможной неравномерности движения по длине кабеля. Также, для устранения погрешности, обусловленной диапазоном частот и принципом измерения, были использованы преобразователи различных типов: (Tronix, проволочный преобразователь, большое перемещение) (Gefran, потенциометрический преобразователь, малое перемещение). Результаты, показанные на фиг. 9, сравнивают затухающее движение свободного кабеля (соответствующее кривой, обозначенной на графике «Свободный кабель», то есть первой, указанной в легенде) с кабелем, оснащенным устройством согласно данному изобретению (обозначенной, как кривая «SSI кабель» на графике, то есть вторая кривая, указанная в легенде).

Из фиг. 7, 8 и 9 видно, что во всех случаях разных возбуждений и уровней амплитуд и для всех измеренных на кабеле мест, сокращение времени колебаний кабеля с устройством согласно данному изобретению по сравнению со свободным кабелем составляет 85% (фиг. 7, коэффициент = 0,54) в худшем случае, то есть для общей продолжительности затухания, так как при малых амплитудах устройство согласно данному изобретению активно только частично или неактивно вовсе.

Продолжительность затухания может уменьшиться на 334%, если мы примем во внимание уменьшение амплитудного максимума кабеля с устройством согласно данному изобретению до 1/3 этой амплитуды (с 33 мм до 10 мм), так как в этом случае устройство согласно данному изобретению оптимизировано по большой амплитуде. Данная нелинейность сокращения [времени - прим. переводчика] затухания является еще одним преимуществом устройства согласно данному изобретению по сравнению с другими типами демпфирующих устройств, так как она ведет кабель очень быстро при малом уровне амплитуды [очень быстро приводит к малому уровню амплитуды колебаний кабеля - прим. переводчика], что приемлемо для конструктора.

Влияние устройства согласно данному изобретению на коэффициент затухания.

Затухание колебаний кабеля могло быть измерено различными способами. Наиболее распространенный заключается в обработке данных в частотной области и использовании одного из различных способов выделения (*) для определения частот, затухания и форм мод кабеля, когда он проявляет синусоидальное движение, являющееся случаем свободного кабеля или полностью натянутого постоянно прикрепленной пружиной кабеля ((*) Автор одного из этих способов: Тирелли Д. «Модальный анализ малых и средних конструкций способом быстрого испытания ударным молотком (FIHT)» EUR 24964 EN. Люксембург: Европейское агентство официальных публикаций; 2011 JRC66055. (Tirelli D."Modal Analysis of Small and Medium Structures by Fast Impact Hammer Testing (FIHT) Method." EUR 24964 EN. Luxembourg (Luxembourg): Publications Office of the European Union; 2011. JRC66055)).

Это уже не тот случай, когда кабель оснащен устройством согласно данному изобретению. Движение все время близко к синусоидальному, но не полностью. Это не линейная, а билинейная структура. Тем не менее, полученные спектры можно считать представляющими характеристику, близкую к характеристике реальной структуры, однако оно дает среднее значение затухания и частот. Для получения величины затухания в течение всего времени эксперимента следует применять другие способы, такие, как способ вейвлет-разложения или способ фракционированного логарифмического декремента (FLD) разработанные с этой целью в ходе этого проекта. Последний способ, как показано на фиг. 10 и 11, позволяет видеть изменение затухания в течение всего времени затухания при использовании дополнительного сигнала для обработки данных, которым является сила в устройстве во время испытания. Посредством сигнала силы измеряются все события изменения направления, что позволяет знать, к какому состоянию (свободному или присоединенному) относится кабель. Результаты, полученные посредством данного способа, точны до тех пор, пока движение является периодическим, так как обработка произведена в каждом из состояний кабеля. На фиг. 10 и 11 изменение частоты и затухания показаны для примера кабеля 1 из Испры после короткого периода возбуждения. Среднее приращение затухания составляет около 3,5/1,07=3,2. Устройство согласно данному изобретению дает приращение коэффициента затухания для средних колебаний, составляющее 320%.

На кривых, показанных на фиг. 12 и 13, способ FLD используется для [оценки - прим. переводчика] изменения затухания при больших перемещениях кабеля после длительного и сильного возбуждения (200 Н). Видно, что изменение для двух состояний кабеля показано на разных кривых. Кривая, показанная пунктирной линией, соответствует свободному кабелю (то есть первой кривой, обозначенной в легенде), а кривая, показанная штриховым пунктиром, соответствует прикрепленному кабелю (то есть, второй кривой, обозначенной в легенде). Когда кабель свободен, анализ выполняется в том же состоянии, но для положительных и отрицательных циклов. Сигнал силы является шумом (нулем), так как устройство не прикреплено.

Интересно видеть на фиг. 12, что только тогда, когда устройство согласно данному изобретению оптимизировано, затухание увеличивается (до 70 сек) и в течение этого периода частоты 2-х состояний (свободного кабеля и прикрепленного кабеля) сильно отличаются.

После этого периода система становится линейной с одной частотой и низким коэффициентом затухания. В общем, коэффициент затухания большого перемещения для кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению, увеличивается на коэффициент 2,57 (237%) по сравнению со свободным кабелем. На фиг. 14 показано сравнение фурье-спектров свободного кабеля и кабеля, оснащенного устройством согласно данному изобретению (SSI-кабеля), при испытании с мгновенным сбросом нагрузки (отпусканием). Хорошо видно, что пики более плоские. Отметим, что толщина пиков представляет затухание, увеличение этого затухания можно наблюдать во всех модах (так как они взаимосвязаны).

Устройство согласно данному изобретению применимо ко всем типам и любым индексам мод, возрастающих до резонанса, так как его концепция основана на преобладающем перемещении, управляющем колебательным движением. Теория хаоса показывает, что если амплитуда на входе или на выходе становится больше заданного уровня, билинейный осциллятор изменяет свой аттрактор, и в этом случае колебания перескакивают на более высокий индекс моды. Таким образом, стабильность системы обеспечена, так, для присоединения к тому же движению требуется более высокая энергия. Пример возможного варианта осуществления устройства согласно данному изобретению.

На фиг. 15 показан возможный вариант осуществления устройства согласно данному изобретению. На фиг. 15 показана конструкция устройства, которое может быть смонтировано на туго натянутом кабеле, подверженном колебаниям. Пассивное устройство прикреплено перпендикулярно к туго натянутому кабелю. Как показано, угол, образованный пересечением устройства и туго натянутого кабеля, составляет около 90 градусов. Воздействие устройства происходит тогда, когда туго натянутый кабель выходит за пределы положения изменения направления. Устройство согласно данному изобретению прикреплено к туго натянутому кабелю посредством стальной серьги (1) и рым-болта (2) из кованой стали. Устройство также содержит тонкую нитиноловую проволоку (7), смонтированную между двумя соответствующими винтами, содержащими два стальных диска (3) и кубическую стальную деталь (4) для прикрепления нитиноловой проволоки. Один из винтов соединен с туго натянутым кабелем (верхний винт), в то время как другой винт (нижний винт) связан с ездовым полотном моста. Нижний винт присоединен к ездовому полотну моста посредством кованого рым-болта (2), соединенного с винтовыми натяжными элементами (6). Наконец, натяжные элементы (6) присоединены к ездовому полотну моста посредством длинных стальных болтов (5).

Реферат

Пассивный способ защиты туго натянутых кабелей от колебаний, включающий в себя перпендикулярное прикрепление устройства, содержащего одностороннюю пружину или проволоку из сплава с памятью формы, к туго натянутому кабелю в месте прикрепления, причем устройство (прежде всего, односторонняя пружина или проволока из сплава с памятью формы) воздействует на туго натянутый кабель только тогда, когда колеблющийся туго натянутый кабель выходит за пределы положения (SP) изменения направления, устройство для защиты туго натянутого кабеля от колебаний, а также применение такого устройства в конструкции. 3 н. и 15 з.п. ф-лы, 16 ил.

Формула